초등학교 나눗셈의 정의..
2010.11.03 23:37
초등학교 3학년 아이 수학을 가르치는데 교과서가 내용이 좀 이랬다 저랬다 두서가 없습니다.
예를 들어 15/3 = 5인 경우 15를 3개의 묶음으로 나눌 때 한묶음이 5개 들었다고 해야 할까요 아니면 15를 1묶음이 3개가 되도록 나누면 5개의 묶음으로 나누어진다고 해야 할까요?
물론 결과는 어느쪽이든 관계 없습니다만 교과서에서는 위의 두가지를 혼동해서 설명하고 있으면서 정작 그림을 보고 식을 쓰는 문제에서는 두서 없이 어느 한쪽만을 정답으로 하나봅니다. 나눗셈 자체는 잘 하는데 그림을 보고 식을 세우는 문제를 가르치려면 위의 내용 중 둘중의 하나만 맞다고 해줘야 하는데 교과서에 그림 자체가 두가지가 섞여 있습니다.
제가 알고 있는 정의로는 15/3인 경우 15를 3개로 나누는게 기본 정의라고 알고 있습니다만..
혹시 초등학교 선생님 계시면 의견 구합니다.. (초등학교는 안계시던가요?)
코멘트 17
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ㅊㄹ
11.04 00:09
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문제는 이렇습니다.
15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0
위 식을 나눗셈으로 표현하면?
입니다.
나눗셈을 등분제 정의(앞에서 설명한 첫번째) 로 하면 15/5 = 3 이 되구요.. 포함제(두번째 정의)로 하면 15/3 = 5 가 됩니다. 그런데 선생님이 15/3=5 만을 답으로 맞다고 했다는군요.
문제는 제대로 가르치지도 않고 교과서에서 섞어서 설명하고 있다는 점인데요..
이걸 아이한테 어찌 설명해야 할까요?
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왕초보
11.04 01:18
저 선생님은 틀린겁니다. 우리나라 일선 학교에 아이들 가르칠 자격이 전혀 안되는 선생님들 참 많습니다. (미쿡도 별반 차이 없더군요) 선생님들도 실수 하실 수도 있습니다만. 교과서도 그런 분들이 집필하셨다면 섞여있기 쉽죠. 저런 분들이 또 권위만 내세워서 틀린 경우에 그걸 지적하는 아이만 괴롭히는 경우도 보았습니다.
아이한테 이걸 가르쳐야 할지는 모르겠습니다. 선생님들도 완전하지 않단다.. 그럼 아빠는 ? 하고 바로 돌아올 것이거든요.
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ㅊㄹ
11.04 00:36
제가 초등수학을 보면서 깜작 놀랐던게 생각보다 고차원적이라는 것입니다. 자세히 보면 고등학교수학이상을 커버하고도 남더란 말이죠. 왜 초등학생일때는 그걸 몰랐을까요.
에 예가 좀 나와 있네요. 거의 linear algebra를 보는 기분입니다.
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감사합니다. 포함제, 등분제를 소개해주신 내용으로 가르쳐야겠군요..
그런데 교과서에는 포함제, 등분제 구분 없이 설명할때마다 두가지가 번갈아 나옵니다. 그리고 정확한 기준에 대한 설명이 없더군요.
현재 아이의 담임선생님은 원래 담임선생님이 출산 휴가를 가셔서 오신 임시 선생님이신데 연세가 너무 많으셔서인지 이런저런 설명 없이 그냥 문제만 풀라고 하는것 같습니다.
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왕초보
11.04 02:47
포함제 등분제를 나눠서 가르치는 방식 자체가 틀린듯 합니다. 저런 상황에서 수학을 혼자 깨우쳐야 하는 아이들이 불쌍합니다. 어디서 algebra 교과서 하나 엉터리로 보고 와서 베끼는 분위기가 느껴지는데요.
이 세가지는 확실합니다. 교과서에 섞여서 나오면 제대로 외어야 한다.. 세상은 공평하지 않다. 이해가 안되면 믿어라. -_-;;
선생님이 나이드신 때문이 아니라.. 현직 교사들 중에 수학을 제대로 전공한 분이 몇분이나 계실지 생각해 보시면 답이 그냥 나옵니다. 거기다 수학을 전공했다고 수학을 제대로 좋아하고 이해할 분이 얼마나 계실지를 생각해 본다면 한숨만 나올 것이고요. 거기다 학교에서 배우는 과목이 수학 하나가 아니라는 것까지 생각하면 과연 아이들을 학교에 보내서 가르치는게 맞는지 다시 생각하게 됩니다. 차라리 학원이 나을 수도 있겠다 싶겠지만, 학원은 그마저도 자격이 없는 선생님들도 있을 수도 있습니다.
모든것을 아이들 보다 잘해야 하는 초등학교 선생님.. 정말 수퍼맨 아니면 할 수 없는 직업입니다.
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문제해결 이라는 가장 피상적인 시각에서 수학은 현상/문제를 모델링하고 수식화하는 과정과 그 만들어진 수식을 풀어서 답을 내는 두가지 과정을 가르칩니다. (실제 이 부분은 수학에서 ㅅ 만큼도 안됩니다) 이 두가지 모두 뇌를 '유동적이고 효율적으로' 쓰는 훈련을 시키는 것인데, 나눗셈을 저렇게 두가지로 나누고 어떤 경우에는 하나만 맞다고 가르치는 것은 (실제로 언제나 두가지가 다 사용되고 둘다 맞습니다. 단지 어느 접근 방법이 더 효율적이냐는 차이가 있을뿐) 뇌를 유동적이게도 효율적이게도 사용하지 못하게 만드는.. 즉 반수학적인 교육방법입니다. 또한 실제로는 수학천재일 수도 있는 아이들에게 저 피상적인 시각이 수학의 전부이며 수학은 어렵고 이해할 수 없는 과목이라고 가르치게 되는 웃기는 결과를 낳게 됩니다. 이것은 교육이라기 보다는 사회를 향한 테러입니다.
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많은 부분 동의합니다. 하지만 저희 아이는 이미 현실에서 접하고 있는 문제이므로 어떻게든 이걸 당장 해결해야 하는군요.
저는 선생님도 틀릴 수 있다고 이야기 합니다. 되도록이면 부드럽게 이야기하려고 노력하지만 지금 새로 바뀐 담임 선생님은 그 한도를 종종 넘는 일이 많아 걱정입니다.
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이C
11.04 10:23
어디서부터 어떻게 설명을 해야할지 난감합니다만...아는 한도내에서 설명해보자면요...
8 나누기 2 는 4라는 식에 대해서 포함제와 등분제로 나누어서 설명드릴께요....
처음 8개의 사과가 OOOOOOOO 이라고 치고
포함제로 하면 (OO)(OO)(OO)(OO) 이렇게 표현이 됩니다...
등분제로는 (OOOO)(OOOO) 이렇게 되죠....
이걸 말로 표현하면
포함제는 8개의 사과를 2개씩 묶으면 몇묶음이 나오느냐? 답은 4묶음
등분제는 8개의 사과를 2묶음으로 나누면 한 묶음에 몇개씩 들어가느냐? 답은 4개
이렇게 됩니다...
즉 위의 그림에서 괄호의 갯수를 따지면 포함제 괄호안에 들어있는 사과의 갯수를 따지면 등분제....
라고 할 수 있죠...
이해 되셨을까요??
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이C
11.04 10:32
리플에 있는
15-3-3-3-3-3=0 이라는 공식에 대해서 설명 드리자면...
일단 교육과정 상으로는 포함제로 푸는 것이 맞습니다...
선생님이 어떻게 가르치셨는지, 현재 교과서가 어떻게 되어 있는지는 제가 모르겠습니다만....
교육과정 상에서 등분제는 뺄셈식으로 정의할 수 없게 되어 있습니다....
이것도 설명하기는 좀 난감한데...
14개의 사과를 3개씩 나눠주면 몇 묶음이 됩니까...했을 때 식으로 따지면
14/3=4...2 가 되겠죠....이건 위에 리플에서 설명했다시피 포함제 입니다....몫이 묶음이니까요...
그럼 나머지가 2개 남고 이를 뺄셈식으로 표현하면
14-3-3-3-3=2 로 성립이 됩니다...
그런제 등분제는 애초에 설명이 똑같이 나눈다고 되어 있기 때문에
똑같은 14개의 사과를 3묶음으로 나눠주면 한 묶음에 몇개가 들어갑니까....
이게 성립하지 않습니다....아직 분수를 배우기 전일텐데 한묶음에 4와 3분의 2개씩 들어간다고는 못하죠....
즉 뺄셈식을 등분제는 아예 배우지 않습니다....
뺄셈식을 성립하게 하려면 14-14/3-14/3-14/3-14/3=0 이렇게 되기 때문에요....
아 이거 이해하시려나 모르겠네요....저도 설명해놓고도 헷갈려요....
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등분제 포함제 이해 자체는 별로 어렵지 않습니다. 이걸 나눠 가르치던 포함해서 가르치던 별로 관계 없을듯 하지만 문제는 선생님들이 이걸 나눗셈 처음 배우는 아이들에게 정확히 설명하느냐 하는 점입니다.
아이가 말하는걸 들어보면 이런 부분에 대해 그냥 뭉뚱그려서 넘어간듯 합니다.
저도 교과서를 본 것은 아니고 교과서에 딸려나온 문제집을 본 것인데, 문제집과 선생님의 채점 결과만 놓고 보면 포함제, 등분제 구분하지 않고 풀이 해설을 하고 있습니다. 그러다가 위와 같이 특정한 문제에서만 한가지 답만 맞다고 하니 아이가 혼동을 일으키는듯 합니다.
답이 왜 틀렸는지를 선생님이 설명 했느냐고 물어보니 별 설명 없이 그냥 저런식으로 나오면 이렇게 쓰라고 했답니다..
그래서 더 씁쓸합니다.
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이C
11.04 10:48
교육과정 상으로는 뺄셈식은 포함제로 하는것이 정답이고 등분제는 정답이 아니라고 하시겠네요....
선생님이 그걸 가르쳤느냐 안 가르쳤느냐는 모르겠지만...교육과정에는 그렇게 되어 있으니....
대신에 그걸 설명안하고 그냥 넘어가놓고는 그렇게 채점했다면 그건 큰 문제겠네요....
임시 선생님은 임시로 잠깐만 하면 그만이기도 하고
연세 드신분들이 가르치던 때의 수학과 지금의 교육과정은 또 다르거든요....
그걸 그냥 교과서만 보고 예전 방식대로 가르치려고 하니까....안돼죠....
1학기라면 임시교사로 오는 사람도 젊은 사람일텐데...
지금은 아무래도 젊은 임시교사 구하기는 힘들테니까요....임용시험이 얼마 안남았으니....
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문제집의 내용을 보면 등분제를 표현하는 그림이 있고 그 내용을 식으로 적으라고 하고 있습니다. 그리고 해당 문제의 채점은 15/3=5와 15/5=3 둘 다 맞다고 되어 있습니다.
그리고 위의 예와 같은 포함제 문제에 대해서만 15/5는 맞고 15/3은 틀리다고 하니 왜 틀린지를 설명해야 하는데 그걸 그냥 넘어간듯 합니다.
정확히 하려면 이를 구분해주고 이해를 시켜야 할텐데 그냥 뭉뚱그려 넘어가니 아이가 혼동하는 듯 합니다.
맘같아서는 도대체 뭘 어떻게 가르치고 있는지 수업 참관이라도 해봤으면 좋겠는데..
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이C
11.04 11:01
그러게 말이예요...
정답의 일관성이 없네요....
모든과목이 그렇겠지만
수학만큼은 진짜 제대로 가르쳐야 되는건데.....
수학은 그 학년에 배워야될껄 못 배우고 넘어가면 계속 그게 쌓여서 나중에는 엉망진창이 되는 과목인데....
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진지한 논의 감사드립니다.
아이에게 어떻게 설명해야 할지 나름대로 생각이 정리되었습니다.
저도 공학으로 밥먹고 사는 사람이고, 숫자 계산에 어디가서 빠지지 않는다고 생각하는데 아이에게 설명하는건 또 다른 이야기더군요..
교과서를 좀 더 읽어보고 아이를 가르쳐야 하겠습니다. ^^
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왕초보
11.04 14:55
교육과정을 저렇게 만들었다는 것부터 저는 완전히 틀렸다고 봅니다. 수학이라는 제목으로 뭘 가르치려고 시작한건지 모르겠지만, 수학을 전혀 모르는 사람이 만든 교육과정이라고 밖에는 생각할 수가 없네요. 참고로 저는 수학 전공이 아닙니다. 초등학생의 눈높이에서 수학을 맛보이는 것이 결코 쉬운 것은 아닐 겁니다. 더구나 그 맛본 수학이 앞으로 그 아이들이 나아갈 진짜 수학과 같은 연장선상에 있도록 하기는 더 어려울 겁니다. 그렇지만, 어렵다고 하지 않으면 안됩니다. 어렵다고, 이렇게 막 나가면 안됩니다. 이러면 차라리 중학교까지는 수학은 안 가르친만 못하다고 봅니다.
그렇지만 이C님 고맙습니다.
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빠빠이야
11.04 15:00
저도 초등학교 3학년 아이 아빠입니다. 그나마 수학은 좀 나은편입니다.
과학이나 사회과목 보십시오. 그 내용을 시험문제라고 내놓은 것을 보면 가관인 수준의 문제가 정말 많더군요. (학습지 문제지 포함.)
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유년시절
11.04 17:07
"딸기 15 개를 3 개의 접시에 똑같이 나눠 놓으면 1 접시에 몇 개씩 들어가느냐"로 보면 되지 않을까요?
15는 나눠지는 수, 3은 나누는 수, 몇 개는 몫이 되겠죠.
처음 말씀하신게 기본 정의 아닌가요? 두번째는 좀 고차원적으로 들리네요.