전에 kpug의 만능문답에서 본 질문과 관련된 것이어서, 다시 만능문답에 적습니다(구 만능문답을 찾아봤는데, 그 글이 보이지 않네요).

여하튼, 위 제목과 같이 "길이 1인 막대를 벽에서 미끄러지게 할 때 막대가 지나는 자취의 면적"을 구하라는 문제였던 것 같은데,

저는 처음에는 착각을 했고, 다음에는 삼각함수와 미분이 필요한 것 같다는 말만 답글로 적었던 기억이 납니다.

아무튼 오늘 출근길에 갑자기 이 문제가 생각났는데, 그 문제를 푸는 방법을 또 다르게 생각해 볼 수 있겠더군요.

즉, 막대를 직선으로 보고, 모든 막대가 지난 자취가 만드는 경계선(y값이 가장 큰 점들을 이은 것)을 함수로 보면, 위 함수상의 (a,b)값을 막대가 만드는 임의의 직선방정식에 대입하면, 그 값은 항상 0 이상이 되어야 합니다. 그림으로 생각해 보면, (a,b)는 각 직선의 위에 있거나 오른쪽 위에 있으니까요.

이제 막대가 바닥과 이루는 각을 θ라 하면, 직선은 x/cosθ + y/sinθ =1이고, 임의의 θ(0이상  π/2이하)에 대하여, a/conθ + b/sisθ ≥ 1가 됩니다.

여기서,,,, 좋게 말하면 직관이지만,,,, 이 식을 쳐다보다가 우연히 a=(cosθ)^3, b=(sinθ)^3이면 이 식에서 등호가 성립된다는 것을 발견했습니다{(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1이니까요}. 즉, a, b를 위와 같이 두면, (a,b)가 위 경계선의 함수가 될 수 있다는 것이지요.

여하튼 신기한 마음에 인터넷으로 x=(cosθ)^3, y=(sinθ)^3, 즉, [x^2/3 + y^2/3 = 1]인 함수를 찾아보니, asteroid라는 것이 바로 그것이었습니다.

결국,,, asteroid의 면적을 구하고 1/4를 하면 답이 나온다는 것인데, 여전히 적분을 몰라서 무슨 의미인지는 잘 모르지만, 인터넷에서 찾은 asteroid 면적에 의하면, 위 문제의 답은 3π/32 가 됩니다.

여하튼 개인적으로는 인터넷이 없었으면 평생 모를 수도 있었던 것을 알게 되어서 다행이라 생각합니다.

하지만 동시에, 미적분을 모르면 많은 애로사항이 있다는 것을 느끼게 됩니다.

하지만 동시에, 반지름 1이고, 중심이 (1,1)인 원의 접선이 x축, y축과 만나는 선의 길이를 1로 변환시키는 작업을 하는 방법을 잘 써보면, 원의 면적을 이용해서 미적분을 쓰지 않고도 이 문제를 풀 수 있지 않을까 하는 느낌이 들기도 합니다. 물론, x축, y축의 교차각도 함께 변해버릴 수 있어서 안 될 수도 있겠지만 말입니다.